Επίλυση προβλημάτων ιδιοτιμών της εξίσωσης του Schrödinger.

Abstract

Στην πτυχιακή μου εργασία ασχολήθηκα με την εξίσωση του Schrödinger και το αντίστοιχο πρόβλημα ιδιοτιμών που προκύπτει, παρουσία ενός εξωτερικού δυναμικού. Η μέθοδος την οποία ανέπτυξα γενικεύει τη μέθοδο διάδοσης σε φανταστικό χρόνο και μας δίδει τη δυνατότητα επίλυσης του προβλήματος ιδιοτιμών με ταχύτερη σύγκλιση. Στους υπολογισμούς που παρουσιάζω έχω συμπεριλάβει το αρμονικό δυναμικό, όπου γνωρίζοντας την ακριβή λύση, επαλήθευσα την ακρίβεια της μεθόδου μου, τόσο ως προς η διάσταση του χώρου στον οποίο περιοριζόμαστε, όσο και τον αριθμό των επαναλήψεων. Κατόπιν πέρασα στο αναρμονικό δυναμικό, όπου πλέον (έκτος από οριακές περιπτώσεις, όπου μπορεί να χρησιμοποιηθεί η θεωρία διαταραχών) αναγκαστικά προσφεύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους. Έτσι, επανέλαβα τον ίδιο υπολογισμό για το δυναμικό αυτό και υπολόγισα την ελάχιστη ιδιοενέργεια και την αντίστοιχη ιδιοκατάσταση. Τέλος, θεώρησα και ένα άλλο δυναμικό το οποίο αυξάνεται ακόμα πιο ραγδαία συναρτήσει της απόστασης από το κέντρο και συνέκρινα τις ιδιοκαταστάσεις χαμηλότερης ενέργειας των τριών δυναμικών.

In my dissertation, I dealt with Schrödinger's equation and the corresponding eigenvalue problem that arises, in the presence of an external potential. The method I developed generalizes the method of propagation in imaginary time and gives us the possibility of solving the eigenvalue problem with faster convergence. In the calculations I presented, I included the harmonic potential, knowing the exact solution, I verified the accuracy of my method, both in terms of the dimension of the space we are confined to, and the number of iterations. Then I went to the non-harmonic potential, where (except in extreme cases, where the theory of disturbances can be used) we necessarily resort to numerical methods. So, I repeated the same calculation for this potential and calculated the minimum self-act and the corresponding status. Finally, I defined an another potential that is growing even more rapidly in act of the distance from the center, and I compared the lower power self-conditions of the three dynamics.