Μη γραμμική δυναμική και η θεωρία του χάους.

Abstract

Ο σκοπός της εργασίας είναι η παρουσίαση βασικών εννοιών και προσεγγίσεων σε προβλήματα μη γραμμικών συστημάτων ή όπως είναι ευρύτερα γνωστά, χαοτικά συστήματα. Η προσέγγιση είναι περισσότερο θεωρητική αλλά μπορεί να εφαρμοστεί σε μεγάλη ποικιλία συστημάτων, που τα περισσότερα από αυτά είναι φυσικά συστήματα και μπορεί να μην δείχνουν να έχουν τόσες ομοιότητες με την πρώτη ματιά. Η κατανόηση της δυναμικής αυτών των συστημάτων είναι σημαντική για πολλές επιστήμες όπως η βιολογία, η χημεία, τηλεπικοινωνίες κ .α. ούτος ώστε να κατανοήσουμε την συμπεριφορά αυτών των συστημάτων. Τα περισσότερα παραδείγματα που παρουσιάζονται εδώ είναι παραδείγματα τέτοιων φυσικών συστημάτων όπως το μοντέλο του Lorenz για τον καιρό που είναι και ένα διάσημο σύστημα μιας και ήταν από τα πρώτα που μελετήθηκαν. Πιο συγκεκριμένα, τα πρώτα δυο κεφάλαια είναι εισαγωγικά, το πρώτο περιλαμβάνει μια ιστορική αναδρομή στο πεδίο και τους πρωτοπόρους του και το δεύτερο ασχολείται με την αναπαράσταση δυναμικών συστημάτων και παρέχεται επίσης κάποια ορολογία. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι θεωρίες ευστάθειας και διακλαδώσεων προσαρμοσμένες στην μη γραμμική δυναμική. Παρέχονται θεωρία και τεχνικές για εύρεση και εξέταση της ευσταθείας και των διακλαδώσεων των λύσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η γεωμετρία των fractal η οποία αναπτύχθηκε και χρησιμοποιήθηκε για την μελέτη των περίεργων ελκυστών, οι οποίοι μπορούν να χαρακτηριστούν σαν γεωμετρικά αντικείμενα. Η ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι αρκετή για να περιγράψει τέτοια αντικείμενα. Στο πέμπτο και το έκτο κεφάλαιο οι παραπάνω έννοιες οργανώνονται ε ένα αναλυτικό τρόπο για να μελετηθούν πραγματικά πειραματικά δεδομένα τα οποία θα δώσουν στοιχεία για την συμπεριφορά του συστήματος. Η θεωρία του χάους είναι ένα σχετικά καινούργιο πεδίο της επιστήμης. Είναι αρκετά ενδιαφέρον αλλά ταυτόχρονα πολύπλοκο. Παρόλο που η θεωρία μπορεί να εφαρμοστεί σε πολλά φυσικά συστήματα, περιορίζεται από την περίπλοκη μαθηματική ανάλυση και μπορεί να αποθαρρύνει πολλούς, από πεδία όχι άμεσα συνδεδεμένα με τα μαθηματικά, να ασχοληθούν με αυτήν. Πέρα από την απόκτηση των γνώσεων που είναι απαραίτητες για περαιτέρω μελέτη τέτοιων συστημάτων, η εκμάθηση των βασικών προσεγγίσεων και τεχνικών είναι μια καλή αρχή για κάποιον που ενδιαφέρεται να κάνει τα πρώτα βήματα σε αυτήν την επιστήμη και ελπίζω αυτή η μελέτη να βοηθήσει.

The purpose of this study is the presentation of the basic concepts, techniques and approaches to problems of nonlinear dynamics theory or better known as chaos theory. The approach is more theoretical but can be applied to a big variety of systems, most of them found in nature, that may in first sight have no relation or similarity. Understanding the dynamics of those systems is very important in many sciences like biology, chemistry, signal processing, telecommunications and many more in order to make conclusions about the behavior of the system. Most of the examples presented here are real applications and often famous systems due to their founders like the Lorenz equation and the logistic map. Specifically, the first 2 chapters are introductional and include some history on the field and it’s pioneers and the second is about system representation and also some terminology is provided in ordrer continue the study. The third chapter is about stability and bifurcation theory adjusted to nonlinear systems. It provides definitions and the standard methods to determine stability and bifurcations. The 4th chapter is about fractal geometry developed to study chaotic attractors which can be viewd as geometrical objects. Euclidean geometry is not enough to characterize these objects. In this chapter the fractal geometry and dimension are introduced. In chapters 5 and 6 the befomentioned concepts are organized in an analytical and statistical way in order to be used to make conclusions about real systems. Chaos theory is a relatively new field of science and although very interesting, it is also complicated in many ways. Although the theory can be applied to almost any system in nature, it remains bounded to complicated mathematical analysis and may discourage people from science fields not close to mathematics or physics to use it. Beside the knowledge gained from this study, learning the basic terms and concepts is a good start for anyone interested taking the first step so hopefully this study will help.