Περιστροφικές ιδιότητες συμπυκνώματος Bose-Einstein σε αρμονικό δυναμικό

Abstract

Στην πτυχιακή μου εργασία μελέτησα τις περιστροφικές ιδιότητες ενός συμπυκνώματος Bose-Einstein, το οποίο είναι δεσμευμένο σε ένα αρμονικό δυναμικό, στις δύο διαστάσεις. Ξεκίνησα με το πρόβλημα ενός σωματιδίου, επιλύοντας την αντίστοιχη εξίσωση Schrödinger, η οποία με οδήγησε στις ιδιοτιμές και τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις. Στην συνέχεια εξέτασα το πρόβλημα πολλών σωματιδίων, όπου προφανώς η ενδιαφέρουσα ερώτηση είναι το αποτέλεσμα των αλληλεπιδράσεων. Χρησιμοποίησα την προσέγγιση μέσου πεδίου, υποθέτοντας ότι η κατάσταση πολλών σωματιδίων είναι ένα γινόμενο των καταστάσεων του κάθε ατόμου. Η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση του συμπυκνώματος ικανοποιεί μια μη-γραμμική εξίσωση, την εξίσωση Gross-Pitaevskii. Έλυσα την εξίσωση αυτή μέσω της μεθόδου των μεταβολών, χρησιμοποιώντας ως βάση τις ιδιοκαταστάσεις του αρμονικού δυναμικού. Οι υπολογισμοί μου έγιναν επιβάλλοντας τους προφανείς περιορισμούς, δηλαδή του δεδομένου αριθμού ατόμων, καθώς επίσης και της δεδομένης τιμής της στροφορμής. Με αυτό τον τρόπο κατάφερα να μελετήσω τη συμπεριφορά του αερίου, για συγκεκριμένη τιμή της γωνιακής ταχύτητας του αρμονικού δυναμικού. Τα αποτελέσματά μου έδειξαν ότι καθώς η στροφορμή του αερίου αυξάνεται, ή ισοδύναμα καθώς η συχνότητα περιστροφής του αρμονικού δυναμικού αυξάνεται, δίνες εισέρχονται στο αέριο και μάλιστα με ασυνεχή τρόπο. Καθώς η συχνότητα περιστροφής της παγίδας πλησιάζει τη συχνότητα του αρμονικού δυναμικού, ο αριθμός των δινών αυξάνεται και το αέριο απλώνεται όλο και περισσότερο. Σε αυτό το όριο η προσέγγιση μέσου πεδίου παύει να ισχύει και είναι πέρα από τους στόχους της εργασίας μου.

In this thesis, I studied the rotational properties of a two-dimensional Bose-Einstein condensate, which is confined in a harmonic trapping potential. To do this, I started with the single-particle problem, i.e., with the solution of the Schr¨odinger equation, which led me to the eigenvalues and the corresponding eigenstates. I then turned to the many-body problem, where obviously the interesting question is the effect of the interatomic interactions. To do this, I used the mean-field approximation, assuming that the many-body state is a product state. The problem thus reduced to the evaluation of the “condensate wavefunction”, i.e., of the order parameter. The order parameter satisfies a nonlinear equation, the Gross-Pitaevskii equation. This equation was solved variationally, where the eigenstates of the harmonic potential were used as basis states. To take into account the effect of the rotation, I performed this variational calculation imposing the obvious constraint of a fixed atom number, as well as a fixed angular momentum. From this it was straightforward to derive the rotational response of the gas for a fixed angular velocity of the trapping potential. My results showed that as the angular momentum of the gas increases, or equivalently as the rotational frequency of the trapping potential increases, vortex states enter the gas in a discontinuous way. Eventually, as the angular frequency of the trap approaches the trap frequency, the effective potential vanishes and the number of vortices increases, while the cloud expands radially. Clearly, in this limit the mean-field approximation ceases to be valid, and the cloud enters a correlated regime, however this limit goes beyond the mean-field approximation (and the present study).